Задачка больше обращена к @matematik.andrei, однако каждый желающий может попробовать ее решить.
Сразу оговорюсь, что задачка придумана не мной, а моим коллегой по работе. Парню 22 года. Сам я в математике дуб дубом к сожалению и мне она не под силу.
Собственно сама задачка:
a+b=c
a×b=c
a и b не равны 0 или 2
a и b числа от 1 до 10 и не обязательно целые.
Андрей,надеюсь,вам будет интересна эта задачка)
Развернём тор в квадрат 2π×2π. Точки (x,y) и (x + 2πkx, y + 2πmy) считаются эквивалентными.
А теперь проведём через (0,0) прямую с угловым коэффициентом √2.
2π — это шесть с гаком. Но для простоты на картинке они изображены как 2 с гаком, да и √2 не очень в масштабе — шут с ним. Главное, что три числа 1, √2 и 2π несоразмерны (то есть их отношения иррациональны).
Наше множество — это жирные красные точки (n, √2n), n∈ℕ₀. И нам нужно доказать такое: если их все заэквивалентить в один квадрат 2π×2π, получим плотное множество. А для этого действуем так.
Ткнём где-то точку (x,y), выберем маленькое ε, и докажем две вещи.
АДЫН. Можно найти точку, достаточно близкую (по эквивалентности) к любому x (на y чхаем).
2πn+x заменим на (2π−6)n+x, ничего не изменится. Обозначим 2π−6≈0,28 за a.
Начнём с x=0 и сделаем несколько шажков этой формулой: на третьем не добираемся до единицы на 0,15, а на четвёртом уже имеем 1,13. Таким образом, мы шажками на a (что эквивалентно шажкам на 2π) можем приблизиться к целому числу не просто на a≈0,28, а на a/2≈0,14 — не только для x=0, а для любого x.
Обозначим эти четыре шага как «шаг второго порядка», и он короче, чем a/2. Шаг третьего порядка, состоящий из семи шагов второго порядка, будет ходить на 0,0088 уже в минус, и так далее — то есть мы можем соорудить шаг короче любого ε.
Что может пойти не так? Только то, что какой-то шаг станет нулём — но это возможно, если изначальный шаг 2π рациональный. То есть мы полагаемся на несоразмерность шагов по разным координатам.
Кроме того, отсюда видно: чтобы добиться точности ε, нужно быстро растущее при ε→0, но всё-таки зависящее только от а и ε (но не от начального x!) количество элементарных шагов s(a,ε). Функция, как уже сказано, определена только для рациональных a, но она симметрична по a, убывает для отрицательных a и возрастает для положительных, и ничего не стоит её доопределить. Чему равна — облом выписывать: скажем, для a≈0,4 и ε=0,05 она s(0,4; 0,1) = 3 + 6·3 + 11·6·3 (ходьба шажками 0,4, затем чуть меньшими 0,2, затем чуть меньшими 0,1).
Поскольку a лежит в пределах ±0,5, и чем оно больше по модулю, тем выше наше потребное количество элементарных шагов s, то у функции есть верхняя грань по a — s(ε) := maxₐ s(a,ε) = s(±0,5, ε).
ДЖВА. Можно найти точку, достаточно близкую к любому x и y.
По первому утверждению приближаемся к нашему x с точностью ε/2. При этом y выходит произвольный.
Опять-таки по первому утверждению добиваемся шажка по x не более ε/2s(ε). Приняв то, что получилось, за базовый шаг, приближаемся к нашему игреку с точностью ε, при этом по x уйдём максимум ещё на ε/2.
Восстанавливаю мышление, решаю простые задачки, нашел книгу В. И. АРНОЛЬД. ЗАДАЧИ ДЛЯ ДЕТЕЙ ОТ 5 ДО 15 ЛЕТ
Ну думаю мой уровень, "взрослый" матан пока не тяну.
Зашел, решил первую задачку.
Иду вниз поискать ответы, а там спустя каких то 75 задач...
Увы ответов нет, задачи тривиальны и решение очевидно
Ну так давайте посчитаем:
1 кц, как известно, это одна спичечная головка.
Согласно фильму, 1 кц = 4400 чатлов, как выдал мне гугл.
Коробок спичек содержит в среднем 38 спичек, опять же согласно данным гугла.
И согласно тем же данным, коробок спичек в РФ для физлиц стоит 30 рублей.
Ну так и производим следующий расчёт:
38кц/30р.=1.2(6)кц/р. То есть 1 рубль это 1.2(6)кц
1.2(6)кц/р.*4400чт/кц=5573.(3)чт/р.
То есть 1 рубль это примерно 5.5к чатлов
Цена на информацию о номере галактики в 3 чатла просто бросовая, я считаю.
Короче, для начала отметим, что для множества J 6-я аксиома, которая ∀a∈J\{0}: 0*a=0 избыточна. То что в ямайкамурровых числах 0 умножить на любой не 0 равно 0 выводится как следствие. Ну и ещё @alice9tails утверждает, что ∅ вообще по факту не операция. Ну я тоже подумал, что и фиг с ней. Так что в сухом остатке мы имеем множество J которое отличается от R только в следующих аксиомах (чтобы не переписывать всю эту аксиоматическую портянку, покажу только отличающиеся):
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a_________________∀a,b∈R: a*b=b*a
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)_____∀a,b,c∈R: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c____∀a,b,c∈R: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b,c∈J c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)_______∀a,b,c∈J, c⩾0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
@alice9tails натолкнула меня подумать, каково же место призрачных чисел в структуре математики. Пришлось смотреть теории множеств, коих, оказывается, в мире есть, и не одна. Собственно, я не особо нашёл что-то, что могло бы быстро и легко помочь с этим. И, скорее всего, именно что не нашёл, а не то, что его там нет. Я просто объясню суть терминов, которые буду использовать, чтобы было понятно. Но имейте в виду, что это всё, скорее всего, просто мой велосипед от какой-то из теорий множеств.
Множество элементов А является конкретным относительно множества B, если в нём определено как минимум одно дополнительное свойство для как минимум одного элемента множества В и при этом между всеми аксиомами множеств A и B нет противоречий. Множество В в таком случае можно считать абстрактным относительно А.
Определить дополнительное свойство элемента множества В, значит ввести аксиому о получении результата операции с этим элементом, который не определён для множества В.
Покажем на примере, что множество С является конкретным относительно R:
√(-1) - не определено в R
√(-1)=i - определено в С
Очевидно, что определено дополнительное свойство в виде результата для √-1, а значит, С конкретно относительно R, ну или, что тоже самое, R абстрактно относительно C. То, что у этих множеств нет конфликтов в аксиомах, доказано и без меня.
Теперь вернёмся к нашим баранам и покажем, что R конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J, это при том, что 0*a=0, для a≠0
a*0=0 - определено в R
J вообще было получено просто вытравливанием коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности умножения на 0 из R, так что конфликты искать не приходится.
Покажем, что G конкретно относительно J:
a*0 - не определено в J
a*0=g(-1)a - определено в G
При этом G не является R в силу того, что:
0*1/0 - не определено в R
0*1/0 = g(1)0 - определено в G
Логично тогда предположить, что G конкретно относительно R, но эти два множества имеют противоречие на уровне аксиом:
a*0=0 - в R (я знаю, что a*0=0 в R не аксиома, а следствие)
a*0=g(-1)a - в G при том, что 0=g(0)0
То есть свойства нулю из J эти множества добавляют разные.
Проще выражаясь: G конкретизирует J иначе, чем это делает R.
Я тут картиночку для наглядности запилил с иерархией этих множеств:
Вот у вас есть множество G для которого определены все его операции для всех чисел - и множество R у которого нет деления на 0. И при этом они оба идут от одного абстракта...
Я, конечно, понимаю, что человечество, тысячелетие с лишним просидевшее на R, итак прекрасно себя чувствует, но вопросик-то есть один: может ли так быть, что сегодня мы не имеем возможности описать что-либо математически только потому, что стираем информацию умножением на 0 и вообще не умеем на него делить?
Кстати, вполне возможно конкретизировать аналог множества комплексных чисел и от G. И все другие навороты, аналогичные тем, что есть для R, скорее всего, тоже.
Тут внезапно всплыло, что у множества действительных чисел R, на которое я так опрометчиво опирался при определении призрачных, есть очень недальновидный изъян, в виде того, что там коммутативность умножения кто-то когда-то сгоряча в аксиомы закинул, от чего потом и получилось, что умножение на 0 стало давать 0.
Так что пришлось определить своё множество чисел с преферансом и куртизанками, на которых работает призрачная алгебра. Я назвал его J или ямайкамурровы числа.
Непустое множество J называется множеством ямайкамурровых чисел, если на нём заданы операции сложения (+: J×J→J), умножения (*: J×J→J), отказа (∅: J×→J), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a,b∈J: a+b=b+a.
∀a,b∈J: (a+b)+c=a+(b+c).
∃0∈J ∀a∈J: a+0=a.
∀a∈J ∃(−a)∈J: a+(−a)=0
∃1∈J ∀a∈J: a*1=a
∀a∈J\{0}: 0*a=0
∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a
∀a∈J: a∅=0
∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)
∀a∈J∖{0} ∃(1/a)∈J: a*1/a=1
∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c
∀a,b∈J: a⩽b ∨ b⩽a
∀a,b∈J: (a⩽b ∧ b⩽a)⇒a=b
∀a,b,c∈J: (a⩽b ∧ b⩽c)⇒a⩽c
∀a,b,c∈J: (a⩽b⇒a+c⩽b+c)
∀a,b,c∈J, c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)
Пусть A и B такие непустые подмножества J, что
∀a∈A,b∈B:a⩽b. Тогда ∃c∈J ∀a∈A,b∈B:a⩽c⩽b.
Замечание. a⩽b⇔b⩾a. a⩽b при a≠b⇔a<b или b>a.
Вообще-то это по большей части копия аксиоматики действительных чисел - вся разница выделена жирным шрифтом. Имеем 2 полностью новые аксиомы и 4 старые, но с изменёнными условиями.
Аксиома 6 определяет умножение 0 на любое не равное 0 число (не наоборот).
Аксиома 8 определяет унарную операцию отказа, на тот случай, если вам надо обнулить имеющуюся информацию.
Можно заметить, что в ямайкамурровых числах не определено ни деление на 0, ни умножение на 0.
B тут в дело врывается призрачная алгебра:
Непустое множество G называется множеством призрачных чисел, если на нём заданы операции сложения (+: G×G→G), умножения (*: G×G→G), отказа (∅: G×→G), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:
∀a∈J 0∈J ∃g(0)a∈G: a=g(0)a
∀a∈J 0, -1∈J: a*0=g(-1)a
∀a∈J 0,1∈J ∃(1/0)∈G: a*1/0=g(1)a
∀a,b,c∈J: g(a)g(b)с=g(a+b)c
∀a,b,c∈J: g(a)b+g(a)c=g(a)(b+c)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*g(c)d=g(a+c)(b*d)
∀a,b,c,d∈J: g(a)b*1/g(c)d=g(a-c)(b*1/d)
∀a∈G: a∅=0
Ну, вроде бы справился! Хотя проверять тут ещё и перепроверять.
Не очень уверен насчёт того, верно ли записал аксиому 3. Но суть её такова, что при делении числа на 0 получается призрак первого порядка со значением этого числа.
В общем, кто шарит, вы не стесняйтесь, подтягивайтесь.
Добрый день, уважаемые пикабушники. У меня вопрос к тем кто разбирается в математике:
У меня есть три сотрудника отдела продаж. У них разный план по продажам.
Первый сделал 25 продаж от плана 50. То есть 50% плана
Второй 60 от плана в 100, то есть 60% плана.
Третий 300 продаж, при плане в 400. То есть выполнил план на 75%
Итого план на отдел был 50+100+400=550 продаж.
А сотрудники сделали 25+60+300=385 продаж.
385 это 70% от 550.
То есть отдел выполнил 70% плана.
А теперь вопрос:
Можем ли мы как то найти эти же 70%, если не знаем количества продаж, а знаем только процент выполнения индивидуальных планов?
Первый сделал 50% от своего индивидуального плана, второй 60%, третий 75%. Можно ли из этих данных найти 70% сделанных всем отделом?
Форма записи призрачного числа:
g(z)Х
где:
g - призрачный модификатор
z - порядок призрачного числа, z∈ℤ
X - значение (значимая часть) призрачного числа
Призрачный модификатор является не более, чем просто символом, показывающим, что число записано в форме призрачного.
Порядок призрачных чисел ввёл @nbvehbectw, заодно упростив их запись так, чтобы модификатор ставился всегда перед числом. Человек, не побоявшийся заглянуть в кроличью нору призрачной алгебры. На данный момент точно понимает её лучше меня.
Что имеем сейчас:
X=g(0)X; X∈ℝ - любое действительное число может быть записано как призрачное порядка 0
g(z1)g(z2)X=g(z1+z2)X; X∈ℝ; z1, z2∈ℤ - призрачные числа приводятся в форму с действительной значимой частью.
X:0=g(1)X; X∈ℝ - деление действительного числа на 0 даёт в результате призрачное порядка 1 с значимой частью, равной делимому.
X*0=g(-1)X; X∈ℝ - умножение действительного числа на 0 даёт в результате призрачное порядка -1 с значимой частью, равной первому множителю.
0*X=0; X∈ℝ; X≠0 - умножение некоммутативно. Это значит, что сумма выражается как произведение следующим образом: X+X=X*2, но не 2*Х. Выражаясь простыми словами: взяв 1 яблоко 0 раз, вы в результате получаете 1 призрак яблока, но взяв 0 яблок 1 раз, вы получаете 0 яблок.
X+0=X; X∈ℝ
X-0=X; X∈ℝ
0-X=-X; X∈ℝ
Общее правило сложения для чисел одного порядка:
g(z)X+g(z)Y=g(z)(X+Y); X, Y∈ℝ; z∈ℤ
Общее правило умножения:
g(z1)X*g(z2)Y=g(z1+z2)(X*Y); X, Y∈ℝ; z1, z2∈ℤ
Общее правило деления:
g(z1)X:g(z2)Y=g(z1-z2)(X:Y); X, Y∈ℝ; z1, z2∈ℤ
Что-то из вышеперечисленного может оказаться избыточным.
Вот, собственно, вся призрачная алгебра и есть на данный момент.
Очень похожа на обычную алгебру, но полнее, и, как по мне, красивше. Да, умножение может доставить хлопот с непривычки, но это плата за возможность деления на 0. Да, вопросов, требующих разрешения, ещё прям основательно есть, но, блин, призрачной алгебре недели отроду нету, в конце концов! Может, помрёт ещё вообще! Ну или окажется математическим "велосипедом", что вот вообще никак не исключено тоже, учитывая, сколько там добра уже понапридумано.
Ну а насчёт её применимости, тут, знаете, ежели так подумать, то чем чёрт не шутит... Как минимум для разминки мозгов и троллинга уже сгодится. А там, мало ли, вдруг окажется, что ей можно какую-нибудь сингулярность посчитать!? Или волновую функцию разволновать!? Всё польза для человечества может быть.
За сим не остаётся ничего иного, как выпустить это чудо на математические нивы. Пускай само доказывает свою жизнеспособность.
От себя хочу выразить огромную благодарность всем, кто остался неравнодушен к этой теме, даже тем, кто призывал сжечь меня на костре. Было весело. До новых встреч!
